Over procedurele vaardigheden

Onze cursus rekenvaardigheden ambieert op termijn leerkrachten en leerlingen een simpele en duidelijke omgeving te bieden waar procedurele vaardigheden kunnen geremedieerd en herhaald worden telkens een leerkracht of leerling ervaart dat dit nodig is. Vanzelfsprekend zijn deze vaardigheden enkel een nodige maar onvoldoende voorwaarde voor ’goed’ wiskundeonderwijs.

Als een leerkracht of leerling merkt dat

  • de leerling de rekenregels voor breuken niet meer kent.
  • de leerling geen vergelijking van een rechte door twee punten kan opstellen.
  • de leerling vaak fouten maakt bij het omvormen van formules.
  • ....

wilt de cursus rekenvaardigheden een uniforme en simpele plek worden waar een leerling die kennis en vaardigheid zelfstandig kan remediëren en inoefenen. De hypothese dat ons onderwijs baat heeft bij meer klassieke inoefening werd (zonder gausscurve) getoetst in een Leuvens woonzorgcentrum.

Alle leerdoelen die louter procedurele kennis zijn werden opgelijst per graad. Initium ergo ut esset … er zal stapsgewijs voor meer leerdoelen materiaal voorzien worden. Wiskunde Op Maat neemt als axioma aan dat elke mens het in zich heeft deze procedures te doorgronden.

Een leerling gebruikt het rekenoffensief om actief te oefenen. Zo zijn er voor complexe getallen onder andere volgende procedurele leerdoelen:

06.08.24

De leerlingen lossen kwadratische vergelijking op in de complexe getallen.

06.08.27

De leerlingen zetten complexe getallen in cartesische vorm om naar goniometrische vorm en omgekeerd.

06.08.42

De leerlingen kunnen de Mandelbrot verzameling in het complexe vlak herkennen en daarbij een kort doch diepgaand woordje uitleg geven dat het hele intellectuele nalatenschap van Benoit Mandelbrot overspant. Vervolgens duiden ze met anakdotiek uit eigen leefwereld hun visie op de gausscurve.

Voorbeeld: Indien een leerling niet weet hoe een kwadratische vergelijking moet worden opgelost, maar dit in principe reeds in de lessen heeft geleerd, kan de leerling dat uit zichzelf of na aansporing van de leerkracht met volgende pagina opnieuw inoefenen.

Bepaal de oplossingen van de vierkantsvergelijking \(x^2 - 4x + 3 = 0\).

De discrimant is positiefnulnegatief.
Deze vergelijking heeft twee oplossingenéén oplossinggeen oplossingenin de reële getallen.
Bepaal de wortels.

Een tweedegraadsvergelijking \(ax^2 - bx + c = 0\) met positieve discriminant \( \Delta = b^2 - 4ac \) heeft altijd twee oplossingen, gegeven door:

\[ x_{1} = \frac {-b + \sqrt {\Delta }}{2a} \text { en } x_{2} = \frac {-b - \sqrt {\Delta }}{2a}, \]
waarbij
  • \( a \) de coëfficiënt van \( x^2 \) is,
  • \( b \) de coëfficiënt van \( x \) is,
  • \( c \) de constante term is,

In het algemeen wordt een tweedegraadsvergelijking in één onbekende gegeven door het voorschrift \(ax^2 - bx + c = 0\). De tweedegraadsvergelijking \(x^2 - 4x + 3 = 0\) heeft als coëfficiënten gelijk aan \(a = 1, b = -4 \text { en } c = 3\). We zoeken de getalwaarden voor \(x\) waarvoor deze vergelijking gelijk is aan nul. Hiervoor kan de formule met discrimant gebruikt worden.

De discrimant \( \Delta = b^2 - 4ac \) is gelijk aan \(\Delta = (-4)^2 -4\cdot 1 \cdot 3\). De vierkanswortel wordt dan gegeven door \(\sqrt {\Delta } = \sqrt {4} = 2\). Er zijn dus twee oplossingen omdat de discriminant positief is. Deze oplossingen worden gegeven door:

\[ x_{1} = \frac {-b + \sqrt {\Delta }}{2a} \text { en } x_{2} = \frac {-b - \sqrt {\Delta }}{2a} \]

Invullen levert:

\[ x_{1} = \frac {-(-4) + \sqrt {4}}{2\cdot 1} = 3 \]
\[ x_{2} = \frac {-(-4) - \sqrt {4}}{2\cdot 1} = 1 \]

Als je de vergelijking beschouwt als een functievoorschrift, zijn deze oplossingen de snijpunten van de parabool \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) met de \(x\)-as. Aangezien de discriminant positief is, zal de parabool de \(x\)-as 2 keer snijden.

Met de discrimantformule bereken je dus deze snijpunten met de \(x\)-as zonder grafiek van de functie .

Bepaal de oplossingen van de vierkantsvergelijking \( x^2 - 4x + 4 = 0 \) .

De discriminant is positiefnulnegatief.
Deze vergelijking heeft twee oplossingenéén oplossinggeen oplossingenin de reële getallen.
Bepaal de wortels.

Voor een tweedegraadsvergelijking \(ax^2 - bx + c = 0\) met \(\Delta = 0\) geldt:
\[ x = \frac {-b}{2a}. \]

In het algemeen wordt een tweedegraadsvergelijking gegeven door het voorschrift \( ax^2 - bx + c = 0 \) Voor de vergelijking
\[ x^2 - 4x + 4 = 0 \]
hebben we:
\[ a = 1,\quad b = -4,\quad c = 4. \]

Bereken de discriminant:

\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4\cdot 1\cdot 4 = 16 - 16 = 0. \]

Aangezien \(\Delta = 0\) is er één oplossing (dubbele wortel), gegeven door:

\[ x = \frac {-b}{2a} = \frac {-(-4)}{2\cdot 1} = \frac {4}{2} = 2. \]

Als functievoorschrift is

\[ f(x)=x^2 - 4x + 4 \]
een parabool die de \(x\)-as raakt in het punt \( (2,0) \).

Bepaal de oplossingen van de vierkantsvergelijking \( x^2 - 4x + 5 = 0 \).

De discriminant is positiefnulnegatief.
Deze vergelijking heeft twee oplossingenéén oplossinggeen oplossingenin de reële getallen.

Voor de vergelijking \( x^2 - 4x + 5 = 0 \)

hebben we:

\[ a = 1,\quad b = -4,\quad c = 5. \]

De discriminant wordt berekend als:

\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 16 - 20 = -4. \]

Aangezien \(\Delta < 0\) zijn er geen reële oplossingen.

De grafiek van de parabool ligt volledig boven de \(x\)-as. Er zijn geen snijpunten.

De constante factor \(c\)

In het algemeen voorschrift \( ax^2+bx+c=0 \) geeft de constante term \(c\) een verticale verschuiving weer. De waarde van \(c\) heeft dus invloed op het aantal snijpunten met de \(x\)-as. Hiermee kan je inzien waarom het niet verwonderlijk is dat constante term \(c\) ook invloed heeft op het tegen van de discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\). (want het teken van de determinant bepaalt immers het aantal nulpunten...)

Bepaal de oplossingen van volgende tweedegraadsvergelijkingen.
\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)

Er zijn twee reële oplossingen \( 2 \) en \( 3 \)
\( x^2 + x - 6 = 0 \)

Er zijn twee reële oplossingen \( -3 \) en \(2 \)
\( x^2 + 2x + 1 = 0 \)

De dubbele wortel is gelijk aan \( -1 \)
\( 2x^2 + 5x + 2 = 0 \)

Er zijn twee reële oplossingen \( -\frac {1}{2}\) en \(-2 \)
\( 3x^2 - 6x + 3 = 0 \)

De dubbele wortel is gelijk aan \( 1 \)

Het is ook mogelijk deze pagina met of zonder antwoorden als pdf te downloaden en af te drukken. Voor hardnekkige fouten als \(\frac {a}{b+c} = \frac {a}{b} + \frac {a}{c} \) kan een leerkracht zich wapenen met enkele kopieën en deze indien nodig met een nietje als fysieke bijlage aan een verbeterde toets invoegen.